\section{Dimensionering}
\label{moderneregulering-dimensionering}
Samtlige elementer i regulatoren; tilbagekobling, integral kontrol, anti-windup, estimator og fremkobling bidrager til den samlede systemrespons, hvorfor dimensioneringen finder sted efter design af disse. Frihedsgraderne for dimensioneringen består i polplacering for tilbagekoblingen med integral kontrol, polplacering for estimatoren og nulpunktsplacering via koefficienterne i fremkoblingsmatricen, \textbf{N}.\\\\
Til polplaceringen for tilbagekoblingen med integral kontrol anvendes, som beskrevet i afsnit \ref{moderneregulering-tilbagekobling}, to metoder.
Fremkoblingen findes ud fra polplaceringen ud fra de to tilbagekoblingsmetoder samt tuning via simulering. Der er fundet at estimatorpoler seks gange hurtigere end systempolerne generelt giver tilfredsstillende estimatorvirkning for dette system. Estimatorens virkning er dog afhængig af hvilken tilbagekoblingsmatrice, \textbf{F}, der dimensioneres, hvorfor analyse af estimatoren følger senere.

Den første metode polplaceringen for tilbagekobling med integral kontrol dimensioneres efter er med reele poler. Her placeres polerne af $\textbf{A}_\textbf{e} + \textbf{B}_\textbf{e}\textbf{F}_\textbf{e}$ på den negative realakse med MATLAB-funktionen; $\textbf{F}_\textbf{e} = -\text{place}\left(\textbf{A}_\textbf{e},\textbf{B}_\textbf{e},\textbf{p}\right)$, hvor \textbf{p} er en vektor med de ønskede poler. \\
Med polplaceringen angivet i ligning \eqref{eq:dim-p} fåes tilbagekoblingsmatricerne, $\textbf{F}$ og $\textbf{F}_\textbf{I}$, som vist i ligning \eqref{eq:dim-real-f-fi}.
\begin{IEEEeqnarray}{c}
\label{eq:dim-p}
\textbf{p} = \begin{bmatrix} -1,55 & -1,55 & -6 & -6 & -7 & -8 \end{bmatrix}^T\\\nonumber\\
\label{eq:dim-real-f-fi}
\textbf{F}_\textbf{e} = \underbrace{\left[
\begin{matrix}
349,6 & -30,4 & -112,6 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -44,5
\end{matrix}\right.}_\textbf{F}\underbrace{\left.
\begin{matrix}
-115,5 & 0 \\
0 & -109,6
\end{matrix}\right]}_{\textbf{F}_\textbf{I}}
\end{IEEEeqnarray}
Polplaceringen dimensioneres umiddelbart hurtigst mulig ved arbejdspunktet, men da arbejdspunktet for snorlængden er; $\bar{l}_\text{s} = 0,683$ m skal der under dimensioneringen også tages højde for hvorledes responset bliver ved andre længder. Accepttestene foregår med snorlængder på $0,4$ m, $0,8$ m og $1,2$ m, hvorfor dimensioneringen er foretaget således at kravene også overholdes ved disse længder. På figur \ref{fig:moderneregulering-real-varying-lbar} ses steprespons ved step på $0,8~\has$ i $x$-retning. 
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{billeder/moderne/real-varying-lbar.pdf}
\caption{Steprespons ved step på $0,8~\has$ i $x$-retning for varierede snorlængder med tilbagekobling dimensioneret med reele poler.}
\label{fig:moderneregulering-real-varying-lbar}
\end{figure}
Polplaceringen er, som det fremgår af figur \ref{fig:moderneregulering-real-varying-lbar}, dimensioneret så kravene overholdes både ved snorlængder på $0,4$ m, $1,2$ m og ved $0,683$ m, som er længden den er dimensioneret ved. Der er ikke medtaget step i $y$-retningen, da disse i modellen er uafhængig af $\theta_\text{last}$, hvorfor de blot dimensioneres hurtigt muligt. Ved alle længderne har et step i $y-$retningen derfor samme karakteristik og er uden steady state fejl.

Da fremkoblingen placerer nulpunkter i $\textbf{F}_\textbf{I}/\textbf{N}$, jvf. afsnit \vref{moderneregulering-fremkobling} er fremkoblingsmatricen \textbf{N}, for denne tilbagekoblingsmetode, dimensioneret til følgende:
\begin{center}
$\mathbf{N} = \begin{bmatrix} 73 & 0 \\ 0 & 69 \end{bmatrix}$
\end{center}
Den anden metode som polplaceringen for tilbagekobling med integral kontrol dimensioneres efter er LQR. De tilbageværende frihedsgrader er, som beskrevet i afsnit \ref{moderneregulering-lqr}, de to tilstande $\textbf{x}_\textbf{I}$. Disse er dimensioneret ved arbejdspunktet, hvor; $\bar{l}_\text{s} = 0,683$ m. Der er som ved dimensioneringen af reele poler, dimensioneret så kravene ikke kun overholdes ved denne snorlængde, men også ved både $0,4$ og $1,2$ m.
\begin{IEEEeqnarray}{l}
\label{eq:dim-lqr-q}
\textbf{Q} = \begin{bmatrix}
\frac{1}{0,079^2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{1^2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{1,02^2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{0,23^2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{{\color{red}0,27}^2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{{\color{red}0,001}^2} 
\end{bmatrix}
\end{IEEEeqnarray}
Maksimalværdier for $\textbf{x}_\textbf{I}$ på $0,27$ og $0,001$, hvormed \textbf{Q}, med de håndtunede værdier markeret med {\color{red}rød}, ser ud som formel \eqref{eq:dim-lqr-q}, er fundet til at give et ønskværdigt respons. Med denne \textbf{Q} er tilbagekoblingsmatricerne angivet i ligning \eqref{eq:dim-lqr-f-fi}, fundet ved MATLAB-funktionen; $\textbf{F}_\textbf{e} = -\text{lqr}(\textbf{A}_\textbf{e},\textbf{B}_\textbf{e},\textbf{Q},\textbf{R})$. Der er anvendt $-\text{lqr}()$, da MATLAB antager negativ tilbagekobling, som ikke benyttes her. 
\begin{IEEEeqnarray}{c}
\label{eq:dim-lqr-f-fi}
\textbf{F}_\textbf{e} = \underbrace{\left[
\begin{matrix}
165,5 & 2,8 & -31,8 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -444,9
\end{matrix}\right.}_\textbf{F}\underbrace{\left.
\begin{matrix}
-40 & 0 \\
0 & -10000
\end{matrix}\right]}_{\textbf{F}_\textbf{I}}
\end{IEEEeqnarray}
Polerne er ved LQR placeret som vist i ligning \eqref{eq:dim-lqr-p}, udtrykt ved vektoren \textbf{p}, til sammenligning med de reele poler i ligning \eqref{eq:dim-p}.
\begin{IEEEeqnarray}{c}
\label{eq:dim-lqr-p}
\textbf{p} = \begin{bmatrix}
-1,37 \pm 1,07j \\
-5,68 \pm 5,23j \\
-20,77 \pm 20,43j
\end{bmatrix}
\end{IEEEeqnarray}
Figur \ref{fig:moderneregulering-lqr-varying-lbar} viser steprespons, ved step på $0,8~\has$ i $x$-retningen, for varierede snorlængder. Som på figur \ref{fig:moderneregulering-real-varying-lbar} er der ikke vist responset for et step i $y$-retningen, da alle disse er ens og ikke har steady state fejl.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{billeder/moderne/lqr-varying-lbar.pdf}
\caption{Steprespons ved step på $0,8~\has$ i $x$-retning for varierede snorlængder med tilbagekobling dimensioneret med LQR.}
\label{fig:moderneregulering-lqr-varying-lbar}
\end{figure}
Fremkoblingsmatricen \textbf{N}, for denne tilbagekoblingsmetode, er her dimensioneret til følgende:
\begin{center}
$\mathbf{N} = \begin{bmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 210 \end{bmatrix}$
\end{center}

For at afgøre hvilken af de to metoder der skal arbejdes videre med tages der udgangspunkt i den sværeste situation for regulatorene, hvilket vil sige med snorlængde på $1,2$ m. På figur \ref{fig:moderneregulering-lqrvsreal} fremgår hastighederne for step på $0,8~\has$ og $0,2~\has$ i henholdsvis $x$- og $y$-retningen samt vinklen både for dimensioneringen med reele poler og med LQR.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{billeder/moderne/lqrvsreal.pdf}
\caption{Steprespons ved step på $0,8~\has$ og $0,2~\has$ i henholdsvis $x$ og $y$-retning for snorlængde på $1,2$ m for tilbagekobling dimensioneret med reele poler og med LQR.}
\label{fig:moderneregulering-lqrvsreal}
\end{figure}
Af figur \ref{fig:moderneregulering-lqrvsreal} fremgår det tydeligt, hvorledes der med LQR opnåes langsommere svingninger i vinklen. Desuden er steppet i $y$-retningen hurtigere med LQR og steppet i $x$-retningen har en kortere indsvingningstid, selvom stigetiderne umiddelbart ser sammenlignelige ud. Der vælges, på baggrund af disse iagttagelser, at arbejde videre med tilbagekoblingen med integral kontrol dimensioneret med LQR.

I dimensioneringen af observeren er det igennem simulering fundet, at observer poler, der er en faktor seks hurtigere end polerne \textbf{F} bidrager med, i styringen dimensioneret ud fra LQR, er tilfredsstillende. Der er lavet en simulering, hvor tilstandsmatrixen i observeren er en faktor 1,1 af tilstandsmatrixen i systemet. Dette er gjort for at simulere, hvorledes en fejl i modellen bliver rettet op via observertilbagekobling. Desuden er der tilføjet en hvid støj på output fra systemet. Et eksempel på et resultat fra denne simulering kan ses på figur \ref{fig:observersimu}.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{billeder/moderne/observersimu.pdf}
\caption{Vinkelmåling fra systemet (Blå) og vinkelestimering (rød).}
\label{fig:observersimu}
\end{figure}
Her ses det, at den observerede tilstand følger den målte godt, samtidig med at der opnås den ønskede dæmpning. Observerpolerne er på baggrund af dette valgt som angivet i ligning \eqref{eq:dim-observer-p}, hvorved observerforstærkningen bliver som ligning \eqref{eq:dim-observer-l}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:dim-observer-p}
\textbf{p}_\text{obs} = \begin{bmatrix}  -36 & -36 & -42 & -48 \end{bmatrix}^T\\\nonumber\\
\label{eq:dim-observer-l}
\mathbf{L} = \begin{bmatrix} -67,56 & 0 & 0 \\ -2050,31 & -5,52 & 0 \\ -1,41 & -44,71 & 0 \\ 0 & 0 & -28,45 \\ \end{bmatrix}
\end{IEEEeqnarray}
Denne observer implementeres og verificeres til at virke på systemet i implementeringsafsnittet.